MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS. LEY DE LOS SIGNOS

EDER ENRIQUE ARRIETA URZOLA

Problemas sobre variación de la temperatura, el tiempo o la posición son los comúnmente empleados para contextualizar, fuera del campo de la matemática, el significado del signo en un número entero o las reglas de adición en ellos. Usualmente éste proceso no se realiza en la ley de los signos para la multiplicación de enteros.

A continuación se presentan una serie de problemas que se pueden enmarcar dentro de los utilizados para la justificación de la regla de multiplicar números enteros. Aquí se intenta mirar en cada uno de ellos las relaciones matemáticas que involucra y que generalmente no se toman en cuenta en el trabajo escolar, enmarcándolos en tipos especiales de problemas.

PRIMER TIPO DE PROBLEMAS

PROBLEMA 1

Dos amigos que sólo saludan dando la mano izquierda se encuentran con tres que sólo saludan dando la mano derecha. ¿cuántos saludos correctos o incorrectos se presentan?

SOLUCION

Tenemos aquí dos conjuntos mutuamente disjuntos: los que saludan sólo con la mano

izquierda y los que saludan sólo con la mano derecha; estos conjuntos los podemos representar con dos símbolos cualesquiera, lo más natural es utilizar I para el conjunto de los que saludan con la mano izquierda y D para los que lo hacen con la mano derecha. La pregunta del problema sugiere la existencia de un criterio que identifique si el saludo es correcto o incorrecto. Obviamente aquí, si se relaciona un elemento de I con una de D o viceversa, el saludo se considera correcto. En otro caso se considera incorrecto. El saludo correcto se simboliza por V y el incorrecto por F. Sin perdida de generalidad podemos sustituir D por +, I por -, V por + y F por -. Es de anotar que el símbolo + que sustituye a D tiene un significado diferente al que sustituye a V, simultáneamente se puede decir del símbolo – .

D I SALUDOS

Como existen tres que saludan con la derecha y dos que lo hacen con la izquierda, existirán entonces seis saludos incorrectos.

(-2)x(+3)=(-6)

PROBLEMA 2

Generalmente la procreación de una especie se lleva a cabo entre parejas de distinto sexo de la misma especie, estas parejas se denominan viables. Parejas de distinta especie no son viables. Cuántas parejas se pueden formar entre tres hombres y dos mujeres? Son viables?

SOLUCION

Este problema se puede considerar en forma similar al anterior pues existen aquí dos conjuntos disjuntos y un criterio especificado por la pregunta del problema. En forma similar representamos por + a los elementos del conjunto H de los seres humanos, por - a los elementos del conjunto A de los animales , por + indicaremos si la pareja es viable y por - si no lo es.

H A PAREJAS

Es así que la solución del problema estaría dada por (+3)x(+2)=+6.

Obsérvese que la escogencia de los conjuntos es primordial, pues de ello depende la verificación de la ley de los signos. Si H representa el conjunto de los hombres machos y A el conjunto de las mujeres, se hubiese llegado a que + x - = +.

PROBLEMA 3

Un laboratorio posee dos tipos de sustancias, A y B. Se sabe que combinar sustancias del mismo tipo en un cierto medio y mediante un procedimiento determinado genera una sustancia benéfica al ser humano, pero combinar sustancias de diferente tipo genera una sustancia dañina. Si por cada n gramos de A o B que se combine con m gramos de A o B se producen nxm gramos de una nueva sustancia, cuántos gramos ( benéficos o dañinos) se producen al mezclar tres gramos de A con dos de B?

SOLUCION

Tenemos dos conjuntos representantes de las dos sustancias, A y B.

A B MEZCLA

La solución es (+3)x(-2) = -6.

PRIMERA CONCLUSIÓN

En los problemas anteriores podemos vislumbrar un modelo matemático que los gobierna y que hace que se verifique en ellos la ley de los signos de la multiplicación de enteros. En este modelo encontramos una aplicación que denominamos aplicación multiplicativa entera cartesiana que especificaremos a continuación.

Sean A y B conjuntos disyuntos y sean C y D conjuntos con n y m elementos respectivamente. El conjunto CXD posee entonces nxm elementos.

Se define la aplicación:

+nxm si CÍA y DÍA ó CÍB y DÍB

CXD

-nxm si CÍA y DÍB ó CÍB y DÍA

El conjunto CXD define una relación multiplicativa en el número de elementos. Los elementos de C y de D pueden ser representados entonces con cualquier par de símbolos distintos. Los símbolos + y - tienen un significado propio en su contexto. Obsérvese que el inconveniente planteado en la solución del problema 2 queda excluido por la forma en que está definida la aplicación.

SEGUNDO TIPO DE PROBLEMAS

PROBLEMA 4

Una línea férrea pasa por tres ciudades A, B y C.

A B C

Un tren en dirección AC se mueve a 60 km/h. A qué distancia de B estará dos horas antes de pasar por B?

SOLUCION

La pregunta sugiere que se está tomando a la ciudad B como punto de referencia, por tanto podemos tomar como positiva la posición en la dirección BC y negativa en la dirección BA. La velocidad también está relacionada con la dirección de movimiento; tomamos entonces la velocidad positiva en la dirección AC y negativa en la dirección contraria. Por ultimo,. la relación de tiempo nos da una interpretación obvia. Tenemos así tres conjuntos los cuales están interrelacionados mediante una relación de orden multiplicativa.

VELOCIDAD TIEMPO POSICION

La solución numérica del problema estaría dada por (+60)x(-2)=-120.

PROBLEMA 5

Un recipiente posee un grifo de entrada de agua y una compuerta para desocuparlo. El grifo vierte el liquido a razón de 12 gal/min y la compuerta tiene una capacidad de salida de 5gal/min. Si el recipiente tiene abierta la compuerta de salida y cerrado el grifo, cuál ha sido la variación del contenido del tanque 5 minutos antes?

SOLUCION

En forma similar al problema anterior identificamos tres conjuntos: rapidez de vaciado o llenado, tiempo y variación en galones.

RAPIDEZ TIEMPO VARIACION

La solución de este problema estaría dada por (-5)x(-5) = +25.

PROBLEMA 6

Una cepa bacterial se reproduce a razón de 5000 bacterias por minuto. Al colocarlos en cierta sustancia cesa su reproducción y mueren a razón de 20 bacterias por minuto. Si tenemos una cepa inmersa en la sustancia, cuál es la variación de la población tres minutos después?

SOLUCION

La solución numérica es: (-20)x(+3)-60. Los conjuntos encontrados son:

TASA DE CRECIMIENTO TIEMPO VARIACION

SEGUNDA CONCLUSIÓN

Los tres problemas anteriores pueden ser enmarcados en un modelo matemático que se denomina relación multiplicativa entera en magnitudes. Este modelo estaría especificado como se presenta a continuación.

Sean M₂ y M₃ magnitudes y sean ¦­ y g¯ funciones crecientes y decrecientes de M₂ en M₃ respectivamente.

Para a y b en M₂ ó M₃ , a<b lo simbolizamos -^ba-a , a>b lo simbolizamos +^ba+a.

Luego ¦­(+^ba)+^¦(b)¦(a)+¦(a) y ¦­(-^ba)-^¦(b)¦(a)-¦(a). Similarmente , g¯(+^ba)-^g(b)g(a)-g(a) y g¯(-^ba)+^g(b)g(a)+g(a).

Cuando tenemos que ¦­ y g¯ son relaciones multiplicativas, la relación ¦­Èg¯ se denomina relación multiplicativa entera en magnitudes.

TERCER TIPO DE PROBLEMAS

PROBLEMA 7

Supóngase que se tienen dos conjuntos de cerillas coloreadas de rojo unas y de azul otras. Tenemos en un conjunto tres cerillas azules y cuatro rojas, y en el otro conjunto tenemos dos cerillas azules y cuatro rojas. Si se pide formar otro conjunto de cerillas de tal manera que contenga un conjunto como el primero por cada cerilla azul que exista en el segundo conjunto y además por cada cerilla roja del segundo conjunto debe existir un conjunto opuesto al primero (tiene tantas cerillas como éste pero con los colores cambiados) , se pregunta cuántas cerillas de un color más que el otro existe en el nuevo conjunto?

SOLUCION

Llamemos A el primer conjunto, B el segundo conjunto y C el conjunto que se pide encontrar. Entonces: A ={ a,a,a,r,r,r,r} y B ={a,a,r,r,r,r} . El conjunto C pedido será :

a,a,a,r,r,r,r r,r,r,a,a,a,a r,r,r,a,a,a,a

a,a,a,r,r,r,r r,r,r,a,a,a,a r,r,r,a,a,a,a

Si tomamos como referencia las azules respecto a las rojas, el conjunto A tendrá una azul menos que rojas y el conjunto B tendrá dos azules menos que rojas, mientras que el conjunto C tiene dos azules más que rojas. La solución al problema puede ser encontrada más rápidamente por medio del producto (-1)x(-2)=(+2).

PROBLEMA 8

Un hombre ubicado en una determinada escala de una larga escalera colocada verticalmente recibe la orden de realizar tres movimientos ascendiendo y cuatro movimientos en descenso, pero con la condición de que cada movimiento en ascenso signifique subir dos escalas y bajar tres, mientras que cada movimiento en descenso signifique bajar dos escalas y subir tres. En que escala, respecto a la posición inicial quedó ubicado el hombre?

SOLUCION

Llamemos por A el conjunto de los movimientos a realizar y por B el conjunto de los pasos a realizar por cada movimiento. Entonces A ={ a,a,a,d,d,d,d} y B ={s,s,b,b,b}. Por cada ascenso de A realiza B y por cada descenso de A realiza el opuesto de B ( tres ascensos y dos descensos). Luego el total de acciones realizadas estarán dadas por :

s,s,b,b,b s,s,b,b,b s,s,b,b,b

s,s,s,b,b s,s,s,b,b s,s,s,b,b s,s,s,b,b

En total ascendió 18 escalas y descendió 17. Por tanto al final de la acción el hombre se ubica en la primera escala hacia arriba de la posición inicial.

Obsérvese que un movimiento de ascenso puede equipararse con uno de subir y uno de descenso con uno de bajar, luego en A existe un ascenso menos que descensos y en B existe también un ascenso menos que descensos, por tanto la solución del problema se puede obtener más rápidamente por medio de la multiplicación (-1)x(-1) = +1.

PROBLEMA 9

Un operario está encargado de mover la perilla de un horno. Si mueve un lugar a la derecha, la temperatura en el horno sube seis grados e inmediatamente baja dos. Si la perilla se mueve un lugar a la izquierda la temperatura baja seis grados e inmediatamente sube dos. Si el operario realiza tres movimientos de la perilla hacia la derecha y luego dos hacia la izquierda, cuál fue la variación total de la temperatura en el horno?

SOLUCION

Sea A el conjunto de los movimientos de la perilla y B el conjunto que nos indica los movimientos de la temperatura. Entonces A ={ d,d,d,i,i }y B ={ s,s,s,s,s,s,b,b} Luego , los movimientos de la temperatura estarían dados por:

s,s,s,s,s,s,b,b s,s,s,s,s,s,b,b s,s,s,s,s,s,b,b

b,b,b,b,b,b,s,s b,b,b,b,b,b,s,s

La temperatura sube en total 22 grados y baja 18. Así la variación de la temperatura es de +4°.

La solución matemática estaría dada por (+1)x(+4)=+4.

Obsérvese que un movimiento de la perilla hacia la derecha sube la temperatura, mientras que uno hacia la izquierda la baja, por tanto d se puede asimilar con s e i con b.

TERCERA CONCLUSIÓN

Sean A y B dos conjuntos finitos tales que cada uno de ellos se pueden descomponer como la unión de dos conjuntos disjuntos respectivamente.

Sea A = {a₁,a_2,...,a_n, b₁,b₂,...,b_m} , B = {a₁, ... ,a_p, b₁, ... b_q} y B´ = { B}.

Sea C = { a₁, ...,a_q,b₁,b₂,...,b_p}, C´= { C},A₁ = { a₁,...,a_n} y A₂ = { b₁,...,b_m}.

El producto A₁XB´ tiene n pares ordenados, mientras que A₂XC´ tiene m elementos, entonces (A₁XB´) È (A₂XC´) posee n+m parejas ordenadas.

Si consideramos n ³ m y p ³ q , entonces A tiene n-m a_i más que b_j y B tiene p-q a_i más que b_j.

En las segundas componentes de (A₁XB´) È (A₂XC´) existen nxp + mxq a_i y nxq + mxp b_j , por tanto existen ( np + mq) – ( nq + mp) = ( n-m)x( p-q) a_i más que b_j. Todo esto se puede obtener mediante el producto +(n-m)x+(p-q) = +(n-m)x(p-q).

En forma similar se pueden obtener las demás relaciones de signo para el producto de números enteros.

NOTA

El problema número 7 fue tomado textualmente del libro Números Enteros, J. L. Gonzalez y Otros. SINTESIS. Pág 138.